Рассмотрены общее определение квазиортогональных матриц, определение малоуровневых матриц и частные определения квазиортогональных матриц Мерсенна, Эйлера. Введено определение новых квазиортогональных симметричных матриц Зейделя, существующих на нечетных порядках, а также трехуровневых символов Лежандра, на основе которых элементы этих матриц вычисляются. Приведен метод вычисления матриц Эйлера по матрицам Мерсенна. Показана родственность асимметричных и симметричных матриц нечетных порядков Мерсенна и Зейделя. Предложен новый модифицированный метод Сильвестра вычисления матриц Эйлера по симметричным циклическим матрицам Зейделя.

Введение

Практический интерес к ортогональным матрицам, какими являются матрицы Адамара (Hadamard)  [1], обусловлен их основными свойствами, обеспечивающими им широкое применение в цифровых системах обработки информации [2]. 

Матрица Адамара – квадратная матрица Hn порядка n, состоящая из чисел {1, –1}, столбцы которой ортогональны HnT Hn = n I, где I – единичная матрица. 

Во-первых, всего два целых значения элементов этих матриц обеспечивают эффективность матричных операций как при аппаратной, так и программной  реализациях. Во-вторых,  ортогональность матриц дает возможность создания симметричных технических систем, поскольку для матрицы Hn, используемой в прямом преобразовании, матрица для обратного преобразования находится простым ее транспонированием Hn−1=HnT. В-третьих, существующие ортогональные базисы включают симметричные, циклические, двуциклические и др. матрицы, значительно расширяющие возможности выбора оптимальной матрицы для решения конкретной задачи преобразования информации.

В теории кодирования, например, столбцы ортогональных матриц Адамара являются основой построения кодов с большим кодовым расстоянием [3]. Специальный порядок нумерации столбцов матриц Адамара в цифровой обработке сигналов, сжатии и маскировании изображений интерпретируется как двухуровневое представление широко используемых функций Уолша [4].

Ортогональные матрицы Адамара существуют на порядках n=4k, где k – натуральное число, и могут вычисляться в виде цепочек на основе матриц предыдущих порядков n/2 по правилу Сильвестра [5], а также алгоритмами Пэли [6] и Скарпи [7]. 

В работе [8], посвященной описанию и классификации матриц семейства Адамара, сформулирована задача о нахождении двух тесно взаимосвязанных семейств квазиортогональных матриц Мерсенна [9]  и Эйлера [10], близких по свойствам к матрицам Адамара, но отличающихся от них порядками и значениями элементов. 

В работе [8] квазиортогональная матрица определена как квадратная матрица An порядка n с приведенными к единице максимумами модулей элементов каждого из столбцов, удовлетворяющая квадратичному условию связи 

An TAn = ω(n)In,

где In − единичная матрица,  ω(n)  −  вес матрицы. 

Вес  ω(n)= 1 характерен для ортогональных матриц, к которым квазиортогональные матрицы и, в частности, матрицы Адамара, помимо тривиальной матрицы первого порядка, не относятся [1]. Вместе с тем, эти матрицы весьма близки к ортогональным, получаемым из An нормированием их столбцов, после чего максимальный по модулю элемент (m-норма) уменьшается до  m <1 для порядков n >1.

Определение 1. Значения, которым равны элементы матрицы, будем называть ее уровнями. Например, матрица Адамара с элементами {1, −1} имеет два уровня (двухуровневая), а матрица Белевича [11] с элементами {0, 1, −1} – трехуровневая. 

С учетом введенного определения квазиортогональными матрицами Мерсенна Mn называются двухуровневые матрицы порядков n=4k−1 со значениями элементов {1, −b}, где |b|<1, удовлетворяющие квадратичному условию связи 

MnTMn = ω(n)In

с переменным весом ωn =(n+1)+(n-1)b2/2 [8, 9]. При n=3 коэффициент b=1/2, в остальных случаях b q x корень из 4q / q x 4 , где q=n+1 порядок соседствующей матрицы Адамара.

Название этих матриц связано с тем, что они обобщают вычисление квазиортогональных матриц Сильвестра [5] четных порядков n=2k  на нечетные значения порядков, равные числам Мерсенна n=2k−1 [9]. 

Модульно двухуровневые матрицы порядков n=4k−2 [8, 10] с элементами  {1, −1, b,

−b}, где |b|<1, удовлетворяющие квадратичному условию связи EnTEn = ω(n)In.

называются       квазиортогональными       матрицами       Эйлера       En,       для       которых ωn (n + 2) + (n - 2)b2 /2. Модульный уровень b=1/2 при n=6, в общем случае b 

остальных случаях b , где q=n+1 порядок соседствующей матрицы Адамара.