О прикладных аспектах применения М-матриц
Рассматриваются свойства ортогональных минимаксных М-матриц, затрагивающие аспекты их прикладного использования для кодирования и маскирования изображений.
Ключевые слова — ортогональные минимаксные матрицы, М-матрицы, матрицы Адамара, матрицы Белевича, маскирование изображений.
Авторы:
Ю. Н. Балонин, инженер
А. А. Востриков, канд. техн. наук
М. Б. Сергеев, доктор техн. наук, профессор
Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения
В работе [1] предложен способ маскирования цифровых изображений, обеспечивающий их конфиденциальность при передаче по каналам сетей общего пользования. Способ основан на применении аппарата матричного преобразования тела изображения, производимого с использованием уникальной матрицы, поиск которой представляет значительную вычислительную сложность [2].
В работах [3–5] описан класс минимаксных М-матриц, являющихся ортогональными матрицами с минимальным максимальным по абсолютной величине элементом. Важными представителями этого класса являются матрицы Адамара [6–8] и Белевича [9].
Указанные ортогональные матрицы связаны с нахождением спектров сигналов и заменяют матрицу преобразования Фурье в частных случаях обработки дискретных сигналов. По отношению к матрицам Адамара, имеющим всего два уровня значений элементов {1, –1}, М-матрицы допускают большее число уровней — {a, b, c, d, ...}. Несмотря на то, что эти новые матрицы оптимальны в строгом математическом смысле, как и матрицы Адамара, это все же некоторое послабление в сторону более мягкой дискретизации уровней гармонических базисных функций, представленных после специфического квантования столбцами М-матрицы.
Применение матриц Адамара закрепилось в практике помехоустойчивого кодирования. Например, в космической индустрии с ними связана история передач первых снимков Юпитера, Сатурна удаленными космическими аппаратами [10]. Кратко пояснить целесообразность передачи спектров, а не самих сигналов, можно тем, что одиночная радиопомеха (всплеск) на спектре приведет после обратного преобразования, согласно равенству Парсеваля, всего лишь к легкой ряби снимка. Причем импульс помехи в начале передачи кадра даст низкочастотный шум, тогда как в конце — синусное искажение высокой частоты и малой амплитуды. Перестановкой столбцов нормализованной матрицы можно менять характер проявления искажения.
До тех пор, пока обрабатывающие изображение процессоры были маломощны, для реализуемости подхода определенное значение играла двухуровневость матрицы Адамара, обеспечивающая небольшую вычислительную сложность процедуры обработки изображений. Сегодня, с увеличением их производительности, этот фактор отходит на второй план, и в технологии кодирования и маскирования может быть использован весь набор матриц, включая n-уровневые M-матрицы.
Связь М-матриц с теорией защиты информации была обнаружена благодаря работам В. Белевича. В работе [3] опубликована M-матрица 22-го порядка, замещающая отсутствующую C-матрицу Белевича, нахождение которой связано со значительными вычислительными затратами ввиду сверхчувствительности алгоритма к начальным условиям.
Перечислим, помимо математических аспектов, аргументы в пользу целесообразности применения M-матриц для помехоустойчивого кодирования и защиты информации.
Прежде всего, эти матрицы, по сравнению с матрицами Адамара, новы и изучены значительно меньше. Это означает дополнительные трудности поиска М, поскольку подход неизвестен или малоизвестен. Как и все ортогональные матрицы, они имеют преимущество хорошей обусловленности для проведения математических операций обработки сигналов. Их n-уровневость наследует крайне усеченное проявление этого свойства у матриц Адамара. Вместо двух целых уровней {1, –1} имеем целые или, при повышении порядка, иррациональные значения n уровней. Для хранения таких матриц в памяти процессоров достаточно штампов поэлементно заданной структуры. Иррациональность уровней — лишь дополнительный аргумент к приведенным выше. Вычислять значения уровней можно по найденным аналитическим формулам [3, 4].
Конечно, M-матрицы — некоторый компромисс между помехоустойчивостью, максимальной у матриц Адамара, и информационной защищенностью, поскольку они имеют больше факторов влияния на процесс построения эвристических алгоритмов, дополнительной вариативно сти. Перечислять эвристические приемы не имеет смысла ввиду их очевидного разнообразия. Всего лишь тривиальная перестановка строк и столбцов не меняет ортогональности матрицы (инвариантная операция) и порождает большое количество вариантов, зависящее от порядка матрицы. Порядок же может быть выбран сколь угодно большим. Тем самым М-матрицы, безусловно, интересный объект и для теории, и для практики помехоустойчивого и помехозащитного кодирования.
Результаты проводимых исследований позволили дополнить постоянно ведущийся мониторинг М-матриц [11] континуальными семействами уровневых матриц, представителями которых являются, в том числе, регулярные (правильные уровневые) решения и оптимальные M-матрицы.
В заключение отметим, что работа по поиску, исследованию основных свойств М-матриц важна для становления новой ветви прикладного использования матриц Адамара в их обобщении на нечетные и некоторые исключительные четные порядки.
Литература
1. Ерош И. Л., Сергеев М. Б., Филатов Г. П. О защите цифровых изображений при передаче по каналам связи // Информационно-управляющие системы. 2007. № 5. С. 20–22.
2. Eroch I., Sergeev M. Fast encryption of various types of messages // Mechanical Engineering. 2007. Vol. 51. N 1. P. 1–10.
3. Балонин Ю. Н., Сергеев М. Б. М-матрица 22-го порядка // Информационно-управляющие системы. 2011. № 5. С. 87–90.
4. Балонин Н. А., Сергеев М. Б. М-матрицы // Информационно-управляющие системы. 2011. № 1. С. 14–21.
5. Балонин Н. А., Мироновский Л. А. Матрицы Адамара нечетного порядка // Информационно-управляющие системы. 2006. № 3. C. 46–50.
6. Hadamard J. Resolution d’une question relative aux determinants // Bull. sci. math. 1893. Vol. 2. P. 240–248.
7. Paley R. E. A. C. On orthogonal matrices // J. Math. Phys. 1933. N 12. P. 311–320.
8. Мониторинг матриц Адамара. http://mathworld. wolfram.com/HadamardMatrix.html (дата обращения: 10.02.2012).
9. Belevitch V. Theory of 2n-terminal networks with applications to conference telephony // Electrical Communication. 1950. Vol. 27. P. 231–244.
10. Van Lint J. H., Seidel J. J. Equilateral point sets in elliptic geometry // Indagationes Mathematicae. 1966. Vol. 28. P. 335–348.
11. Мониторинг М-матриц. http://mathscinet.ru (дата обращения: 10.02.2012).